Как объяснять студентам, изучающим РКИ, деепричастия?
В методике преподавания РКИ деепричастие представляют как особое "отглагольное" наречие. Обе части речи отвечают на один и тот же вопрос и выполняют в предложении оду и ту же функцию:

Ты говоришь (как?) быстро
Ты говоришь (как?), не думая

Кроме того, сообщают, что деепричастие, или "отглагольное наречие", обозначает не основное, а дополнительное, "попутное" действие, которое происходит либо в одно время с основным (пишу, слушая музыку) для деепричастий НСВ, либо до основного действия (позавтракав, он вышел из дома) для деепричастий СВ.

Потом рассказывают о деепричастных оборотах (деепричастие + ) и о других значениях деепричастий (в основном СВ, у которых может быть не только временное (сначала одно, а потом другое), но и условное или уступительное значение).

Потом выполняют упражнения как на образование причастий (это преподаватель тоже, безусловно, должен объяснить), так и (в первую очередь) на замену предложений с деепричастным оборотом на сложно-сочиненные или сложноподчиненные предложения.

Упражнения на деепричастия, а также более подробные объяснения можно найти в пособии "Русский язык в упражнениях" Хаврониной С.А., Широченской А.И. (библиотека).